Calcolo Esempi

$\sin (\ln (x))$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (\ln (x))$ come funzione.

$f (x) = \sin (\ln (x))$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin (\ln (x)) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

$\int e^{u} \sin (u) d u$

Passaggio 5

Riordina $e^{u}$ e $\sin (u)$ .

$\int \sin (u) e^{u} d u$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \sin (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

Passaggio 7

Riordina $e^{u}$ e $\cos (u)$ .

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

Passaggio 8

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \cos (u)$ e $dv = e^{u}$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Passaggio 10

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Passaggio 10.2

Moltiplica $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ per $1$ .

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

Passaggio 10.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

Passaggio 11

Risolvendo $\int e^{u} \sin (u) d u$ , troviamo che $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ .

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

Passaggio 12

Riscrivi $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ come $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

Passaggio 14.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

Passaggio 14.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Passaggio 14.4

Moltiplica $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

$\sin (\ln (x))$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Passaggio 14.4.2

$\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ e $x$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

Passaggio 14.5

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\ln (x))$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

Passaggio 14.5.2

$x$ e $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Passaggio 14.6

Riordina i fattori in $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ .

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

Passaggio 15

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin (\ln (x))$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$