Calcolo Esempi

$\sin^{3} (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{3} (2 x)$ come funzione.

$f (x) = \sin^{3} (2 x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{3} (2 x) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 5

$\sin^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Metti in evidenza $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 8

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (u_{1})$ come $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Passaggio 9.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

$\frac{1}{3}$ e $\cos^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{\cos^{3} (2 x)}{3}) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{2}$ e $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Passaggio 15.4

Combina.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1 \cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Passaggio 15.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.5.1

Moltiplica $\cos^{3} (2 x)$ per $1$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Passaggio 15.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{6} + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$

Passaggio 17

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$