Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x - x^{7}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riordina $2 x$ e $- x^{7}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{7} + 2 x}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Passaggio 1.2.2

Il limite che tende a infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è negativo è meno infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - x^{7}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{7}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - (7 x^{6})}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{7}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $7$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + 0}$

Passaggio 3.11

Somma $21 x^{6} - 6 x^{2} + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.1.2

Dividi $- 7$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $21$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 7 + \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.5

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 5.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 7 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{6}}$ tende a $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $21$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 7.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{4}}$ tende a $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Passaggio 9

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}$

Passaggio 10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{6}}$ tende a $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{- 7 + 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 11.1.2

Somma $- 7$ e $0$ .

$\frac{- 7}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 11.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 4 \cdot 0}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 0}$

Passaggio 11.2.3

Somma $21 + 0$ e $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0}$

Passaggio 11.2.4

Somma $21$ e $0$ .

$\frac{- 7}{21}$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $- 7$ e $21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$\frac{7 (- 1)}{21}$

Passaggio 11.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $7$ da $21$ .

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Passaggio 11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3}$

Passaggio 11.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3}$