Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} (x^{2} - x^{3}) e^{2 x}$

Passaggio 1

Riscrivi $(x^{2} - x^{3}) e^{2 x}$ come $\frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - x^{3}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riordina $x^{2}$ e $- x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.1.2.2

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio di un angolo dispari il cui coefficiente direttivo è negativo è infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché l'esponente $- 2 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- 2 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - x^{3}}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 2.3.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 2.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 2.3.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Passaggio 2.3.10

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2} + 2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.4

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x) + 2 x}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x) + x \cdot 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $x$ da $x (- 3 x) + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (- 3 x + 2)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- 3 x + 2)}{(2) e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x) + 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x) - 1 (- 2))}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (- 2)$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- (3 x - 2))}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- (3 x - 2)$ come $- 1 (3 x - 2)$ .

$lim_{x \to - \infty} - \frac{x (- 1 (3 x - 2))}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} - - \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} 1 \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 2.12

Moltiplica $\frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} x (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot 3 x + x \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riordina $x$ e $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot x \cdot x + x \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riordina $x$ e $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot x \cdot x - 2 \cdot x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1} x - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1} x^{1} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{1 + 1} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x^{2} - 2 x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.2.7

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché l'esponente $- 2 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- 2 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x - 2)}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.8

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{x \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.9

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot x + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + (3 x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.11

Moltiplica $3 x - 2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 3 x - 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.12

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 4.3.13

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.13.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 4.3.13.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 4.3.13.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 4.3.14

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 4.3.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.16

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

Passaggio 4.3.17

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{6 x - 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $6 x - 2$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 3 x - 2}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 3 x + 2 (- 1)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{- 2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- 2 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{2 \cdot - 1 e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 (3 x - 1)}{2 \cdot - 1 e^{- 2 x}}$

Passaggio 4.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 1}{- e^{- 2 x}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 3 x - 1}{lim_{x \to - \infty} - e^{- 2 x}}$

Passaggio 5.1.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{- 2 x}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché la funzione $e^{- 2 x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Considera il limite con il multiplo costante $- 1$ rimosso.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

Passaggio 5.1.3.2

Poiché l'esponente $- 2 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{- 2 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.3.3

Poiché la funzione $e^{- 2 x}$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

Passaggio 5.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- \infty}{- \infty}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{- \infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x - 1}{- e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x - 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3 + 0}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.5

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- 2 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

Passaggio 5.3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 5.3.7.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 5.3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Passaggio 5.3.8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{- e^{- 2 x} \cdot - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.9

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x} \cdot 1}$

Passaggio 5.3.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{3}{2 e^{- 2 x}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{3}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 0$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0$

Passaggio 8.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $0$ .

$0$