Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.2

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{x}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x} e^{x}}$

Passaggio 7

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\sqrt{x} e^{x}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0$