Calcolo Esempi

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 4} \ln (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 4} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.2.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $16$ da $16$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{4}{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.7.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 3.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Passaggio 3.12

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

Passaggio 3.13

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Passaggio 5

Combina i fattori.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x (2 x)}$

Passaggio 5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

Passaggio 5.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

Passaggio 5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{2}}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Passaggio 6.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4^{2}}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 8.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4}}$

Passaggio 8.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 + 4}}$

Passaggio 8.3.4

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{1}{2^{5}}$

Passaggio 8.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1}{32}$