Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Passaggio 1

Imposta il limite come un limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Passaggio 2

Calcola i limiti inserendo il valore al posto della variabile.

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Passaggio 2.1

Calcola il limite di $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\cot (0)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ è indefinito, il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 3

Imposta il limite come un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Passaggio 4

Risolvi il limite destro.

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Passaggio 4.1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Passaggio 4.1.1.2

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Passaggio 4.1.1.3

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 4.1.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 4.1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 4.1.3.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 4.1.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Passaggio 4.2

Riscrivi $- \csc^{2} (x) x$ come $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Passaggio 4.3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Passaggio 4.3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Passaggio 4.3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Passaggio 4.3.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.3.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Passaggio 4.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Passaggio 4.3.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Passaggio 4.3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Passaggio 4.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Passaggio 4.3.3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

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Passaggio 4.3.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Passaggio 4.3.3.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Passaggio 4.3.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Passaggio 4.3.3.6

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Passaggio 4.3.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Passaggio 4.3.3.8

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Passaggio 4.3.3.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Passaggio 4.3.3.10

Sottrai $3$ da $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Passaggio 4.3.3.11

Semplifica.

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Passaggio 4.3.3.11.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Passaggio 4.3.3.11.2

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Passaggio 4.3.3.11.3

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 4.3.3.11.4

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 4.3.3.11.4.1

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 4.3.3.11.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Passaggio 4.3.3.11.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 4.3.3.11.5

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Passaggio 4.3.4

Frazioni separate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Passaggio 4.3.5

Converti da $\frac{1}{\sin (2 x)}$ a $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Passaggio 4.3.6

Dividi $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Passaggio 4.4

Poiché la funzione $\csc (2 x)$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

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Passaggio 4.4.1

Considera il limite con il multiplo costante $- 1$ rimosso.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Passaggio 4.4.2

Per i valori $x$ tendenti a $0$ da destra, i valori della funzione aumentano senza limite.

$\infty$

Passaggio 4.4.3

Poiché la funzione $\csc (2 x)$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

$- \infty$

Passaggio 5

Se uno dei due limiti unilateri non esiste, il limite non esiste.

$Non esiste$