Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (\sec (x))$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.6

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.8

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Passaggio 3.9

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Passaggio 3.10

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 3.11.1.1

Aggiungi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Passaggio 3.11.1.2

Riordina $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Passaggio 3.11.1.3

Riscrivi $2 \cos (x) \sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Passaggio 3.11.1.4

Elimina i fattori comuni.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Passaggio 3.11.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.11.4

$2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Passaggio 5

Combina i fattori.

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Passaggio 5.1

$2$ e $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Passaggio 5.2

$x$ e $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7

Converti da $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ a $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Passaggio 8

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Passaggio 9

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Passaggio 10

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1$ . Di conseguenza, il limite di $x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $1$ .

$1$

Passaggio 11

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Passaggio 12

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Passaggio 13

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1$ . Di conseguenza, il limite di $x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $1$ .

$1$