Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Passaggio 1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{\ln (\cos (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori di $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.5.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 3.6

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2}) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Passaggio 5

Combina i fattori.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \cos (x^{2}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 5.2

$- 2$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \cos (x^{2}) \frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 5.3

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x)}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x^{2})$

Passaggio 5.4

$\frac{- 2 \cos (x) x}{\sin (x)}$ e $\cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$

Passaggio 6

Converti da $\frac{- 2 \cos (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x)}$ a $- 2 \cos (x) x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) x \cot (x)$

Passaggio 7

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) x \cot (x)$

Passaggio 8

Considera il limite sinistro.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (x) x \cot (x)$

Passaggio 9

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\cos (x) x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99168527 \\ - 0.01 & 0.99991666 \\ - 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Passaggio 10

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1$ . Di conseguenza, il limite di $\cos (x) x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da sinistra è $1$ .

$1$

Passaggio 11

Considera il limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) x \cot (x)$

Passaggio 12

Crea una tabella per mostrare il comportamento della funzione $\cos (x) x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra.

$\begin{array}{c} x & \cos (x) x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99168527 \\ 0.01 & 0.99991666 \\ 0.001 & 0.99999916 \end{array}$

Passaggio 13

Quando i valori $x$ tendono a $0$ , i valori della funzione tendono a $1$ . Di conseguenza, il limite di $\cos (x) x \cot (x)$ per $x$ tendente a $0$ da destra è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 14

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$