Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Passaggio 1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $5 π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{0}{\sin (5 π)}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.3.3.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 π x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Passaggio 3.4

Poiché $5 π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 π x$ rispetto a $x$ è $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π)}$

Passaggio 3.7

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \cdot 5 π}$

Passaggio 3.8

Sposta $5$ alla sinistra di $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cdot \cos (5 π x) π}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $5$ per $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cos (5 π x) π}$

Passaggio 3.10

Riordina i fattori di $5 \cos (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 π \cos (5 π x)}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (5 π \cos (5 π x))}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{5 π}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5 π} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (\cos (5 π x))}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Passaggio 9

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Passaggio 10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Passaggio 11

Sposta il termine $5 π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 12

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 12.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 12.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

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Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$

Passaggio 13.2

Converti da $\frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$ a $\sec (5 π \cdot 1)$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π \cdot 1)$

Passaggio 13.3

Moltiplica $5 π$ per $1$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π)$

Passaggio 13.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (π)$

Passaggio 13.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{1}{5 π} (- \sec (0))$

Passaggio 13.6

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{5 π} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot - 1$

Passaggio 13.8

$\frac{1}{5 π}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 π}$

Passaggio 13.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5 π}$