Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{-1} (x)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite di $\sin^{-1} (x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin^{-1} (0)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.2

Il valore esatto di $\sin^{-1} (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ per $\frac{1}{9}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 9}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $\frac{1}{9}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Passaggio 5.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 5.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 5.8

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0}}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 + 0}}$

Passaggio 7.3.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1}}$

Passaggio 7.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{9 \cdot 1}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{1}{9}$