Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $121$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - lim_{x \to 0} 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.1.5

Calcola il limite di $11$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Somma $0$ e $121$ .

$\frac{\sqrt{121} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Riscrivi $121$ come $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{11 - 1 \cdot 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$\frac{11 - 11}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $11$ da $11$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Passaggio 1.3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 121} - 11}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121} - 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x + 121} - 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 121}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 121}$ come ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 121)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 121$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 121$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 121] + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 121$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [121]) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $121$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $121$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 121)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.3.14

Sposta ${(x + 121)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 11]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.5

Somma $\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Passaggio 3.6

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}}}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 121)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 5

Riscrivi ${(x + 121)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x + 121}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121}} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x + 121}}$ per $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 10

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 11

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 13

Calcola il limite di $121$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Passaggio 14

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Passaggio 15

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 16

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 16.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 16.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Passaggio 17

Semplifica la risposta.

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Passaggio 17.1

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{2 (\sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0))}$

Passaggio 17.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{0 + 121} \cdot \sec^{2} (0)}$

Passaggio 17.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Somma $0$ e $121$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{121} \sec^{2} (0)}$

Passaggio 17.3.2

Riscrivi $121$ come $11^{2}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{11^{2}} \sec^{2} (0)}$

Passaggio 17.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \sec^{2} (0)}$

Passaggio 17.3.4

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1^{2}}$

Passaggio 17.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2 \cdot 11 \cdot 1}$

Passaggio 17.3.6

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 17.3.6.1

Moltiplica $2$ per $11$ .

$\frac{1}{22 \cdot 1}$

Passaggio 17.3.6.2

Moltiplica $22$ per $1$ .

$\frac{1}{22}$