Calcolo Esempi

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t} + t^{2}}{e^{t} - t}$

Passaggio 1

Dividi il numeratore e il denominatore per il termine che cresce più rapidamente nel denominatore.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $e^{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 2.5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 3.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 3.1.3

Poiché l'esponente $t$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{t}$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1 + 2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 5.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché l'esponente $t$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{t}$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{t}}$ tende a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Passaggio 8

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Passaggio 8.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Passaggio 8.1.3

Poiché l'esponente $t$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{t}$ tende a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 8.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 8.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Passaggio 8.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Passaggio 8.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}$

Passaggio 9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{t}}$ tende a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - 0}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 0}$

Passaggio 10.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Passaggio 10.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 10.3

Dividi $1$ per $1$ .

$1$