Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite di $\arctan (x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Passaggio 1.2.2

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 \cdot 0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Passaggio 3.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $8$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \cdot 8}$

Passaggio 3.8

Sposta $8$ alla sinistra di $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cdot \cos (8 x)}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $8$ per $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cos (8 x)}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{8 \cos (8 x)}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} + 1}$ per $\frac{1}{8 \cos (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (8 \cos (8 x))}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{8}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Passaggio 9

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Passaggio 11

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Passaggio 12

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Passaggio 13

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Passaggio 14

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 15

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 15.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 15.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Passaggio 16

Semplifica la risposta.

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Passaggio 16.1

Combina.

$\frac{1 \cdot 1}{8 ((0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0))}$

Passaggio 16.2

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Passaggio 16.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 16.3.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cos (0)}$

Passaggio 16.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{8 (0 + 1) \cos (0)}$

Passaggio 16.3.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1 \cos (0)}$

Passaggio 16.3.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{1}{8 \cos (0)}$

Passaggio 16.3.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Passaggio 16.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{1}{8}$