Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{49 - x^{2}} - 7}{9 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}} - 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $49$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{49 - lim_{x \to 0} x^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.1.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - lim_{x \to 0} 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.1.6

Calcola il limite di $7$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{49 - 0^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sqrt{49 - 0} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{\sqrt{49 + 0} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Somma $49$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{49} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}} - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{7 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $7$ da $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{49 - x^{2}} - 7}{9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}} - 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}} - 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{49 - x^{2}} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{49 - x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{49 - x^{2}}$ come ${(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 49 - x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $49 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $49 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $49 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.13

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.14

$\frac{1}{2}$ e ${(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.15

$- 2$ e $\frac{{(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.16

$\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 {(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.17

Sposta ${(49 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 2 x}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.18

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.19.1

Scomponi $2$ da $2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 ({(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.19.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.19.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.3.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.5

Somma $- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Passaggio 3.6

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 \cdot 1}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $9$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{{(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 5

Riscrivi ${(49 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{49 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{9 \sqrt{49 - x^{2}}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{x}{9 \sqrt{49 - x^{2}}}$

Passaggio 8

Sposta il termine $\frac{1}{9}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{49 - x^{2}}}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sqrt{49 - x^{2}}}$

Passaggio 10

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - x^{2}}}$

Passaggio 11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{lim_{x \to 0} 49 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 12

Calcola il limite di $49$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{49 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 13

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - 0^{2}}}$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 - 0}}$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49 + 0}}$

Passaggio 15.1.3

Somma $49$ e $0$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{49}}$

Passaggio 15.1.4

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{\sqrt{7^{2}}}$

Passaggio 15.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{0}{7}$

Passaggio 15.2

Dividi $0$ per $7$ .

$- \frac{1}{9} \cdot 0$

Passaggio 15.3

Moltiplica $- \frac{1}{9} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{1}{9})$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{9}$ .

$0$