Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{5 x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 1.3

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} (5 \cdot 1)}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Passaggio 3.7

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 \cdot e^{5 x}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $5$ per $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{5 x}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 5.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 5.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 5.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 5.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} (5 \cdot 1)}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Passaggio 5.3.7

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{4}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{5 x}}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 7.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 7.1.3

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 7.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 7.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 7.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 7.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 7.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Passaggio 7.3.7

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 8

Sposta il termine $\frac{3}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{5 x}}$

Passaggio 9

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 9.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 9.1.3

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 9.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 9.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 9.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 9.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 9.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 9.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 9.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5}$

Passaggio 9.3.7

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $\frac{2}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}}$

Passaggio 11

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 11.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Passaggio 11.1.3

Poiché l'esponente $5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{5 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 11.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 11.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Passaggio 11.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 11.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5}$

Passaggio 11.3.7

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Passaggio 12

Sposta il termine $\frac{1}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x}}$

Passaggio 13

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{5 x}}$ tende a $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 5} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12}{5 \cdot 5} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{12}{25} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Passaggio 14.2

Moltiplica $\frac{12}{25} \cdot \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $\frac{12}{25}$ per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 2}{25 \cdot 5} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$\frac{24}{25 \cdot 5} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $25$ per $5$ .

$\frac{24}{125} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Passaggio 14.3

Moltiplica $\frac{24}{125} \cdot \frac{1}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{24}{125}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\frac{24}{125 \cdot 5} \cdot 0$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $125$ per $5$ .

$\frac{24}{625} \cdot 0$

Passaggio 14.4

Moltiplica $\frac{24}{625}$ per $0$ .

$0$