Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1 - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $\frac{π}{4}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

Passaggio 1.3.3.3

Dividi $0$ per $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) - \cot (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - - \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $\csc^{2} (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Passaggio 3.7

Poiché $- \frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + 0}$

Passaggio 3.8

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1}$

Passaggio 4

Dividi $\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Passaggio 6

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Passaggio 7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $2$ da $\csc^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x))}^{2}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la cosecante è continua.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.3.6.5

Calcola l'esponente.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.4.1

Elimina il fattore comune.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.4.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.5.5

Calcola l'esponente.

$2 + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Passaggio 11.1.6

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 11.1.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 11.1.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 11.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 11.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 11.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 + 2^{1}$

Passaggio 11.1.7.5

Calcola l'esponente.

$2 + 2$

Passaggio 11.2

Somma $2$ e $2$ .

$4$