Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Passaggio 1.2.1.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Passaggio 1.2.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{2 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{2 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Passaggio 1.2.3.2

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{3}}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x e^{x^{2}}}{4 x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.9

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot 2) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.11

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.14.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.14.2.2

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.14.3

Riordina i termini.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.14.4

Riordina i fattori in $4 e^{x^{2}} x^{2} + 2 e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}]}$

Passaggio 3.15

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 (3 x^{2})}$

Passaggio 3.17

Moltiplica $3$ per $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{12 x^{2}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{4 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 2 e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché la funzione $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $2$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Considera il limite con il multiplo costante $2$ rimosso.

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty \cdot \infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4.1.2

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Infinito più infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 12 x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{12 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2} e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.6.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 4 (e^{x^{2}} (2 x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 8 (e^{x^{2}} (x)) + 4 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5.2.3

Somma $8 e^{x^{2}} x$ e $4 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5.3

Riordina i termini.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.5.4

Riordina i fattori in $8 e^{x^{2}} x^{3} + 12 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [12 x^{2}]}$

Passaggio 4.3.6

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{12 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 4.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{12 (2 x)}$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $2$ per $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{24 x}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{3} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 \cdot lim_{x \to \infty} x^{3} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.1.3

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{8 \cdot lim_{x \to \infty} x^{3} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.1.4

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{8 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 x e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.3.2

Calcola il limite di $12$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.3.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.4

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$\frac{8 \cdot \infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.1.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty \cdot \infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.5.1.2

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty + 12 \cdot \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.5.1.3

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty + \infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.5.1.4

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty + \infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.2.5.2

Infinito più infinito è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 24 x}$

Passaggio 5.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}}{24 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{3} e^{x^{2}} + 12 x e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3} e^{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3} e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{3} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.6

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x \cdot x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{1} x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{1 + 3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Somma $1$ e $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x e^{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.10

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.4.11

Moltiplica $e^{x^{2}}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 (x^{4} (2 e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 (x^{4} (e^{x^{2}})) + 8 (e^{x^{2}} (3 x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.3.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 (e^{x^{2}} (x^{2})) + 12 (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 e^{x^{2}} x^{2} + 24 (x^{2} (e^{x^{2}})) + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.3.4

Somma $24 e^{x^{2}} x^{2}$ e $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.4.1

Sposta $e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 24 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.3.4.2

Somma $24 x^{2} e^{x^{2}}$ e $24 x^{2} e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.4

Riordina i termini.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.5.5

Riordina i fattori in $16 e^{x^{2}} x^{4} + 48 e^{x^{2}} x^{2} + 12 e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [24 x]}$

Passaggio 5.3.6

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 5.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24 \cdot 1}$

Passaggio 5.3.8

Moltiplica $24$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}}{24}$

Passaggio 6

Poiché la funzione $16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $\frac{1}{24}$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Considera il limite con il multiplo costante $\frac{1}{24}$ rimosso.

$lim_{x \to \infty} 16 x^{4} e^{x^{2}} + 48 x^{2} e^{x^{2}} + 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 16 x^{4} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 16 \cdot lim_{x \to \infty} x^{4} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.2.3

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$16 \cdot lim_{x \to \infty} x^{4} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.2.4

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$16 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.3

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 48 x^{2} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 48 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Calcola il limite di $48$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot lim_{x \to \infty} x^{2} \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.4.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.5

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 12 e^{x^{2}}$

Passaggio 6.6

Poiché la funzione $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $12$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Considera il limite con il multiplo costante $12$ rimosso.

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}$

Passaggio 6.6.2

Poiché l'esponente $x^{2}$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x^{2}}$ tende a $\infty$ .

$16 \cdot \infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

Passaggio 6.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\infty \cdot \infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

Passaggio 6.7.1.2

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\infty + 48 \cdot \infty \cdot \infty + \infty$

Passaggio 6.7.1.3

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\infty + \infty \cdot \infty + \infty$

Passaggio 6.7.1.4

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\infty + \infty + \infty$

Passaggio 6.7.2

Infinito più infinito è uguale a infinito.

$\infty + \infty$

Passaggio 6.7.3

Infinito più infinito è uguale a infinito.

$\infty$