Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $\ln (1)$ per $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.2.5.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.5

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.6

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.7.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.14

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.15

$\ln (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.16

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Passaggio 3.17

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.19

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Passaggio 3.20

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 4

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Passaggio 5

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.1

Per scrivere $\frac{1}{\sqrt{x}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Passaggio 5.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sqrt{x} \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{x}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{\sqrt{x} \cdot 2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Passaggio 5.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{x}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 8

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 12

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 13

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 14.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{1}$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

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Passaggio 15.1

Dividi $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}})$

Passaggio 15.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.2.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 0}{\sqrt{1}})$

Passaggio 15.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}})$

Passaggio 15.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Passaggio 15.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 15.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$