Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.2.5.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = \frac{0}{0} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} + x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} + x$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $e^{x} + 1$ per $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1 = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $\ln (y)$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 9

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 10

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 12

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

Passaggio 13

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Passaggio 14

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Passaggio 15

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Passaggio 16

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}$

Passaggio 17

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 18

Sposta il limite nell'esponente.

$\ln (y) = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 19

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 19.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 19.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 19.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 19.5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 19.6

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\ln (y) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (y) = \frac{1 + 1}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (y) = \frac{2}{e^{0} + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (y) = \frac{2}{1 + 0} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (y) = \frac{2}{1} = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.4.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{1 + 1}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20.4.2

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{e^{0} + 0}$

Passaggio 20.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.5.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{1 + 0}$

Passaggio 20.5.2

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (y) = 2 = \frac{2}{1}$

Passaggio 20.6

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (y) = 2 = 2$