Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{7 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{7 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (\sec (x))$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.6.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Passaggio 3.10

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Passaggio 3.11

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Passaggio 3.12

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Passaggio 3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1.1

Aggiungi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Passaggio 3.13.1.2

Riordina $\cos (x)$ e $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Passaggio 3.13.1.3

Riscrivi $2 \cos (x) \sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Passaggio 3.13.1.4

Elimina i fattori comuni.

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Passaggio 3.13.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 \tan (x)}$

Passaggio 3.13.3

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.13.4

$2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{14 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} 14 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Passaggio 5

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$14$ e $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{14 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Passaggio 5.2

$x$ e $\frac{14 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (14 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $14$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $2$ da $x (14 \cos (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (7 \cos (x)))}{2 \sin (x)}$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (7 \cos (x)))}{2 (\sin (x))}$

Passaggio 6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (7 \cos (x)))}{2 \sin (x)}$

Passaggio 6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{x (7 \cos (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$7 lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$7 \frac{lim_{x \to 0} x (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 7.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$7 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 7.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$7 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 7.1.2.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$7 \frac{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 7.1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$7 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 7.1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.4.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$7 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 7.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$7 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 7.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.3.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$7 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 7.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$7 \frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 7.1.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 7.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 7.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$7 (\frac{0}{0})$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$7 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$7 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 7.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$7 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 7.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$7 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 7.3.6

Riordina i termini.

$7 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 7.3.7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$7 lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$7 \frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 8.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$7 \frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 8.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$7 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 8.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$7 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 8.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$7 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 8.6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$7 \frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$7 \frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$7 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$7 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$7 \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$7 \frac{0 \cdot 0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$7 \frac{0 + \cos (0)}{\cos (0)}$

Passaggio 10.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$7 \frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Passaggio 10.1.4

Somma $0$ e $1$ .

$7 \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 10.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$7 (\frac{1}{1})$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Elimina il fattore comune.

$7 (\frac{1}{1})$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi l'espressione.

$7 \cdot 1$

Passaggio 10.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$7$