Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} (x)}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2.2

Sposta l'esponente $6$ da $x^{6}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2.3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $0^{6}$ per $0$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Moltiplica $0^{6}$ per $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1

Eleva $0$ alla potenza di $1$ .

$\frac{0^{6} \cdot 0^{1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2.4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{0^{6 + 1}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Somma $6$ e $1$ .

$\frac{0^{7}}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 6^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{6^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{6^{0} - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{6} (x)}{6^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} (x)]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6} x^{1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Passaggio 3.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6 + 1}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Passaggio 3.2.2

Somma $6$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x} - 1]}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $6^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6) + 0}$

Passaggio 3.7

Somma $6^{x} \ln (6)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 x^{6}}{6^{x} \ln (6)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{7}{\ln (6)}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} lim_{x \to 0} \frac{x^{6}}{6^{x}}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Passaggio 6

Sposta l'esponente $6$ da $x^{6}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{lim_{x \to 0} 6^{x}}$

Passaggio 7

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 8

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{7}{\ln (6)} \cdot \frac{0^{6}}{6^{0}}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Combina.

$\frac{7 \cdot 0^{6}}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Passaggio 9.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 6^{0}}$

Passaggio 9.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{7 \cdot 0}{\ln (6) \cdot 1}$

Passaggio 9.4

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{0}{\ln (6) \cdot 1}$

Passaggio 9.5

Moltiplica $\ln (6)$ per $1$ .

$\frac{0}{\ln (6)}$

Passaggio 9.6

Dividi $0$ per $\ln (6)$ .

$0$