Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.2.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $6$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $6$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.2.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\infty + 5 lim_{x \to \infty} e^{- x}}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.2.4

Poiché l'esponente $- x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{- x}$ tende a $0$ .

$\frac{\infty + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $\infty$ e $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + 4 e}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Passaggio 1.3.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $7$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $7$ rimosso.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Passaggio 1.3.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 4 e}$

Passaggio 1.3.3

Calcola il limite di $4 e$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 4 e}$

Passaggio 1.3.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.5

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{(6 e^{x} + 5 e^{- x})}{7 e^{x} + 4 e} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x} + 5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 e^{x} + 5 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 e^{x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 e^{x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 e^{- x}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 e^{- x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- 1 e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} + 5 (- e^{- x})}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.4.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x} + 4 e]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 e^{x} + 4 e$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

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Passaggio 3.6.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 e^{x}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 e]}$

Passaggio 3.7

Poiché $4 e$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x} + 0}$

Passaggio 3.8

Somma $7 e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 e^{x} - 5 e^{- x}}{7 e^{x}}$