Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$ come $e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})$ spostando $\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Passaggio 2.2

$\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ e $\ln (17 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (6) + 1) \ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $\ln (6) + 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \ln (17 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Passaggio 3.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.1.3.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.1.3.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Passaggio 3.1.3.4

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.1.3.5

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 17 x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $17 x$ rispetto a $x$ è $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \cdot 17 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.4

$17$ e $\frac{1}{17 x}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.5

Elimina il fattore comune di $17$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Passaggio 3.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (4 x) + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

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Passaggio 3.3.9.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 3.3.9.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.5

$\frac{1}{4 x}$ e $4$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.3.9.6.1

Elimina il fattore comune.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.9.6.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Passaggio 3.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 0}}$

Passaggio 3.3.11

Somma $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} x}$

Passaggio 3.5

$\frac{1}{x}$ e $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\ln (6) + 1$ per $1$ .

$e^{\ln (6) + 1}$