Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{\sin (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 1.3.1.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{1 - e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - e^{0^{2}}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.6

Riordina i fattori di $\cos (3 x^{2}) (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.9.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.9.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Passaggio 3.9.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Passaggio 3.9.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Passaggio 3.9.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} (2 x))}$

Passaggio 3.9.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 (e^{x^{2}} (x))}$

Passaggio 3.9.5

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 e^{x^{2}} x}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

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Passaggio 3.10.1

Sottrai $2 e^{x^{2}} x$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 e^{x^{2}} x}$

Passaggio 3.10.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Passaggio 4

Riduci.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $2$ da $6 x \cos (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Passaggio 4.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Passaggio 7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Passaggio 8

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Passaggio 11

Sposta il limite nell'esponente.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Passaggio 12

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 13

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{0^{2}}}$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{- e^{0^{2}}}$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$3 \frac{\cos (0)}{- e^{0^{2}}}$

Passaggio 14.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$3 \frac{1}{- e^{0^{2}}}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \frac{1}{- e^{0}}$

Passaggio 14.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Passaggio 14.4

Dividi $1$ per $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Passaggio 14.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3$