Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \sqrt{x}$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{- x} \sqrt{x}$ come $\frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 2.1.2

Con $x$ che tende a $\infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 2.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

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Passaggio 2.3.9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.9.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.3.10

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{x}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Passaggio 2.8

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} e^{x} \sqrt{x}}$

Passaggio 2.8.2

Sposta $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Passaggio 2.8.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Passaggio 2.8.4

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Passaggio 2.8.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.8.6

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} {\sqrt{x}}^{2}}$

Passaggio 2.8.7

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 2.8.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.8.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.8.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.8.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.8.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.8.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{1}}$

Passaggio 2.8.7.5

Semplifica.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x}$

Passaggio 2.9

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 x e^{x}}$

Passaggio 3

Riduci.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x e^{x}}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x$ da $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 x e^{x}}$

Passaggio 3.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $2 x e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (2 e^{x})}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (2 e^{x})}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 e^{x}}$

Passaggio 3.4

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{x} x^{\frac{1}{2}}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0$