Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{x - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x + 1 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.8

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.9

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.10

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.10.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 \cdot 1 - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 - (3 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.1.4

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 4 \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{2 - 4 \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.1.6

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{2 - 4 \cdot 1 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.1.7

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{2 - 4 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.2.11.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{d}{d x} [(3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 3 x + 1$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.14

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.15

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.16

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.17

Somma $3$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.4.18

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

$3$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.2

$x$ e $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.4

Moltiplica $3$ per $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.6.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.6.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.6.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.7

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.9

Per scrivere $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.10

$- 3 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.12

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.13

Sottrai $6 x^{\frac{1}{2}}$ da $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.6.3.15

Somma $6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Passaggio 3.10

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 4

Converti gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per scrivere $6 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 5.2

$6 x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 5.4

Per scrivere $\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Passaggio 6

Dividi $\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 10

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to 1} 6 x^{2} \cdot 2 - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 12

Sposta il termine $6 \cdot 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 13

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 14

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 1} \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 15

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 16

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 17

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Passaggio 18

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 19

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 19.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 19.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 19.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 \cdot 1 - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.1.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9 \cdot 1) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.1.5

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.2

Sottrai $9$ da $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.1.6

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}}$

Passaggio 20.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Passaggio 20.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 20.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Passaggio 20.3.2

Riscrivi l'espressione.

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