Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.1.2

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta l'esponente $\frac{1}{8}$ da ${(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.1.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.1.5

Calcola il limite di $256$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{2 - {(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.1.6

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$\frac{2 - {(256 + 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Somma $256$ e $0$ .

$\frac{2 - 256^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Riscrivi $256$ come $2^{8}$ .

$\frac{2 - {(2^{8})}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 - 2^{1}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.1.6

Calcola l'esponente.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta l'esponente $\frac{1}{5}$ da ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 1.3.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 1.3.1.4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 1.3.1.5

Calcola il limite di $32$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Passaggio 1.3.1.6

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Somma $0$ e $32$ .

$\frac{0}{32^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Riscrivi $32$ come $2^{5}$ .

$\frac{0}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0}{2^{1} - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3.1.6

Calcola l'esponente.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ e $g (x) = 256 - 7 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $256 - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $256$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $256$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.8

$- 1$ e $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.10.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.10.2

Sottrai $8$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{- 7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.12

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.13

Sottrai $7$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.14

$\frac{1}{8}$ e ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.15

$\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}$ e $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.16

Sposta $- 7$ alla sinistra di ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7 {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.17

Sposta ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.4.20

Moltiplica $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 5 x + 32$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 32$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.5

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $32$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.7

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.9.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.9.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{- 4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.11

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.12

Somma $5$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.13

$\frac{1}{5}$ e ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.14

$\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ e $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.15

Sposta $5$ alla sinistra di ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 \cdot {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.16

Moltiplica $5$ per ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.17

Sposta ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.18

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.7.19

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Passaggio 3.8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + 0}$

Passaggio 3.9

Somma $\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 5

$\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ e ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{7}{8}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7}{8} lim_{x \to 0} \frac{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $\frac{4}{5}$ da ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $32$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 12

Sposta l'esponente $\frac{7}{8}$ da ${(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 13

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 14

Calcola il limite di $256$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 15

Sposta il termine $7$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 16

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 16.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 16.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17

Semplifica la risposta.

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Passaggio 17.1

Combina.

$\frac{7 {(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 17.2.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{7 {(0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.2.2

Somma $0$ e $32$ .

$\frac{7 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.2.3

Riscrivi $32$ come $2^{5}$ .

$\frac{7 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 17.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 \cdot 2^{4}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 17.3.1

Moltiplica $- 7$ per $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 + 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.3.2

Somma $256$ e $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 256^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.3.3

Riscrivi $256$ come $2^{8}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot {(2^{8})}^{\frac{7}{8}}}$

Passaggio 17.3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Passaggio 17.3.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 17.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Passaggio 17.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{7}}$

Passaggio 17.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 128}$

Passaggio 17.4

Moltiplica $7$ per $16$ .

$\frac{112}{8 \cdot 128}$

Passaggio 17.5

Moltiplica $8$ per $128$ .

$\frac{112}{1024}$

Passaggio 17.6

Elimina il fattore comune di $112$ e $1024$ .

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Passaggio 17.6.1

Scomponi $16$ da $112$ .

$\frac{16 (7)}{1024}$

Passaggio 17.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 17.6.2.1

Scomponi $16$ da $1024$ .

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Passaggio 17.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Passaggio 17.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{64}$