Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.7.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.7.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.3.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 1.3.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (1 - x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.7

Sottrai $1$ da $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.8

$\frac{1}{1 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.3.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Passaggio 3.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.7.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Passaggio 3.7.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Passaggio 3.7.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Passaggio 3.7.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}$

Passaggio 3.7.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}$

Passaggio 3.7.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 (\cos (x) \sin (x))}$

Passaggio 3.7.6

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Somma $0$ e $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 3.8.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Passaggio 3.8.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Passaggio 3.8.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Passaggio 4

Poiché la funzione tende a $\infty$ da sinistra e a $- \infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$