Calcolo Esempi

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ come ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.10.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Passaggio 1.1.2.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.13

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.14

$\frac{1}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2.15

$- 3$ e $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Passaggio 1.1.2.16

$\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Passaggio 1.1.2.17

Sposta ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.18

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.19

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.1.2.19.1

Scomponi $3$ da $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.1.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ come ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Poni $2 - x^{3}$ uguale a $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{3} = - 2$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{3} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{3} = - 2$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Passaggio 3.3.3.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{2}$

Passaggio 4

Risolvi $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$1 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \sqrt[3]{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\sqrt[3]{2}$ a $x$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

Passaggio 4.2.2.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\sqrt[3]{2} + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $\sqrt[3]{2}$ e $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

Passaggio 5