Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 18 x^{2} + 8 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 18 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 8 x = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $8 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 2 x (4) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x)$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x) + 2 x (4) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (2 x^{2} - 9 x) + 2 x (4)$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ e la cui somma è $b = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 9$ come $- 1$ più $- 8$ .

$2 x (2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 x ((2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x (x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$2 x ((2 x - 1) (x - 4)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x (2 x - 1) (x - 4) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (2 x - 1) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{2}, 4$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} - 6 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + π$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + π$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + π$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0 + 4 {(0)}^{2} + π$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 4 \cdot 0 + π$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 + π$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + π$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + π$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $π$ .

$π$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $x$ .

${(\frac{1}{2})}^{4} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{4}}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{16} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} - 6 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{16} - 6 \frac{1}{2^{3}} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{16} - 6 (\frac{1}{8}) + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{1}{16} + 2 (- 3) \frac{1}{8} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{1}{16} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{16} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{16} - 3 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.8

$- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} + \frac{- 3}{4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Passaggio 4.2.2.1.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + π$

Passaggio 4.2.2.1.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 \frac{1}{2^{2}} + π$

Passaggio 4.2.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 (\frac{1}{4}) + π$

Passaggio 4.2.2.1.13

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.13.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 (\frac{1}{4}) + π$

Passaggio 4.2.2.1.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.2

Per scrivere $- \frac{3}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 3 \cdot 4}{16} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{1 - 12}{16} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.5.2

Sottrai $12$ da $1$ .

$\frac{- 11}{16} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{16} + 1 + π$

Passaggio 4.2.2.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{11}{16} + \frac{16}{16} + π$

Passaggio 4.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 11 + 16}{16} + π$

Passaggio 4.2.2.9

Somma $- 11$ e $16$ .

$\frac{5}{16} + π$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

${(4)}^{4} - 6 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + π$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$256 - 6 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + π$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$256 - 6 \cdot 64 + 4 {(4)}^{2} + π$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $64$ .

$256 - 384 + 4 {(4)}^{2} + π$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$256 - 384 + 4^{1} {(4)}^{2} + π$

Passaggio 4.3.2.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$256 - 384 + 4^{1 + 2} + π$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$256 - 384 + 4^{3} + π$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$256 - 384 + 64 + π$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Sottrai $384$ da $256$ .

$- 128 + 64 + π$

Passaggio 4.3.2.2.2

Somma $- 128$ e $64$ .

$- 64 + π$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, π), (\frac{1}{2}, \frac{5}{16} + π), (4, - 64 + π)$

Passaggio 5