Calcolo Esempi

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $U e^{t} + V e^{- t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $U$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $U e^{t}$ rispetto a $t$ è $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ è $a^{t} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $V$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $V e^{- t}$ rispetto a $t$ è $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- t$ .

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

Passaggio 1.1.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$e^{t} U - e^{- t} V$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $e^{t} U - e^{- t} V$ .

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $F (t)$ rispetto a $t$ è $U e^{t} - V e^{- t}$ .

$U e^{t} - V e^{- t}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Non ci sono valori di $t$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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