Calcolo Esempi

$f (x) = {(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - 9 x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 9 x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 9 x^{2} + 25$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 9 x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + 0)$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $- 18 x$ e $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x)$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $- 18$ per $2$ .

$- 36 (- 9 x^{2} + 25) x$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- 36 (- 9 x^{2}) - 36 \cdot 25) x$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 36 (- 9 x^{2}) x - 36 \cdot 25 x$

Passaggio 1.1.3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 9$ per $- 36$ .

$324 x^{2} x - 36 \cdot 25 x$

Passaggio 1.1.3.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$324 (x^{1} x^{2}) - 36 \cdot 25 x$

Passaggio 1.1.3.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$324 x^{1 + 2} - 36 \cdot 25 x$

Passaggio 1.1.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$324 x^{3} - 36 \cdot 25 x$

Passaggio 1.1.3.3.5

Moltiplica $- 36$ per $25$ .

$f' (x) = 324 x^{3} - 900 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $324 x^{3} - 900 x$ .

$324 x^{3} - 900 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $324 x^{3} - 900 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$324 x^{3} - 900 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $36 x$ da $324 x^{3} - 900 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $36 x$ da $324 x^{3}$ .

$36 x (9 x^{2}) - 900 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $36 x$ da $- 900 x$ .

$36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $36 x$ da $36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25)$ .

$36 x (9 x^{2} - 25) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 25) = 0$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 3 x$ e $b = 5$ .

$36 x ((3 x + 5) (3 x - 5)) = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x + 5$ uguale a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 5$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{3}$

Passaggio 2.6

Imposta $3 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $3 x - 5$ uguale a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $3 x - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 5$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi ${(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(- 9 {(0)}^{2} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(- 9 \cdot 0 + 25)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

${(0 + 25)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $25$ .

$25^{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Eleva $25$ alla potenza di $2$ .

$625$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{5}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{5}{3}$ a $x$ .

${(- 9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

${(- 9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.6.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $- 25$ e $25$ .

$0^{2}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = \frac{5}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $\frac{5}{3}$ a $x$ .

${(- 9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Somma $- 25$ e $25$ .

$0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 625), (- \frac{5}{3}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

Passaggio 5