Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $14 x$ da $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Passaggio 1.1.4.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Passaggio 2.2

Somma $12 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Passaggio 2.3

Dividi per $4 x$ ciascun termine in $4 x \ln (x) = 12 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $4 x$ ciascun termine in $4 x \ln (x) = 12 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $12 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi $3$ per $1$ .

$\ln (x) = 3$

Passaggio 2.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\ln (x) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'equazione come $x = e^{3}$ .

$x = e^{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 3.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = e^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $e^{3}$ a $x$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Usa le regole del logaritmo per togliere $3$ dall'esponente.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.1.6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $7 e^{6}$ da $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(e^{3}, - e^{6})$

Passaggio 5