Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 10 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 10 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 10 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 10$ .

$3 x^{2} + 10$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 10 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 10 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = - 10$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 10$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 10$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{10}{3}$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{10}{3}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{10}{3}}$ .

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{10}{3}}$

Passaggio 2.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{10}{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{10}{3}}$ come $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 2.5.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.5.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.5.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.5.5.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.5.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm i \frac{\sqrt{10 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 2.5.6.2

Moltiplica $10$ per $3$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{3}$

Passaggio 2.5.7

$i$ e $\frac{\sqrt{30}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{3}, - \frac{i \sqrt{30}}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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