Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x^{3} - 3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 3 x$ .

$e^{x^{3} - 3 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

$3 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $e^{x^{3} - 3 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $e^{x^{3} - 3 x}$ uguale a $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $e^{x^{3} - 3 x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x^{3} - 3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.4

Imposta $3 x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $3 x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $3 x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 3$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.2.3.1

Dividi $3$ per $3$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.4.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.4.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.4.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.4.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.4.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $e^{x^{3} - 3 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e^{1 - 3 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$e^{1 - 3}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$e^{- 2}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$e^{- 1 - 3 \cdot - 1}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$e^{- 1 + 3}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$e^{2}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, \frac{1}{e^{2}}), (- 1, e^{2})$

Passaggio 5