Calcolo Esempi

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\sec (u)$ rispetto a $u$ è $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

$\frac{π}{4}$ e $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2.2

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ e $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $\sec (\frac{π x}{4})$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $\sec (\frac{π x}{4})$ uguale a $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Passaggio 2.3.2.2

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 2.3.3

Imposta $\tan (\frac{π x}{4})$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $\tan (\frac{π x}{4})$ uguale a $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Passaggio 2.3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Passaggio 2.3.3.2.3

Poni il numeratore uguale a zero.

$π x = 0$

Passaggio 2.3.3.2.4

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $π x = 0$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 2.3.3.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Passaggio 2.3.3.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Passaggio 2.3.3.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.4.3.1

Dividi $0$ per $π$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.3.2.5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Passaggio 2.3.3.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Passaggio 2.3.3.2.6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Passaggio 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Passaggio 2.3.3.2.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.2.1

Semplifica $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Somma $π$ e $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Passaggio 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{4}{π} π$

Passaggio 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 4$

Passaggio 2.3.3.2.7

Trova il periodo di $\tan (\frac{π x}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.3.3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{π}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Passaggio 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.78539816$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Passaggio 2.3.3.2.7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π \frac{4}{π}$

Passaggio 2.3.3.2.7.5

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$π \frac{4}{π}$

Passaggio 2.3.3.2.7.5.2

Riscrivi l'espressione.

$4$

Passaggio 2.3.3.2.8

Il periodo della funzione $\tan (\frac{π x}{4})$ è $4$ , quindi i valori si ripetono ogni $4$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ vera.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4

Consolida le risposte.

$x = 4 n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\sec (\frac{π x}{4})$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Semplifica $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.4.1

Scomponi $π$ da $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Passaggio 3.2.2.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Passaggio 3.2.2.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 + 4 n$

Passaggio 3.2.3

Riordina $2$ e $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

Passaggio 3.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi $\sec (\frac{π x}{4})$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Scomponi $4$ da $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Passaggio 4.1.2.1.2.4

Dividi $π \cdot (0)$ per $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\sec (0)$

Passaggio 4.1.2.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\sec (π)$

Passaggio 4.2.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$- \sec (0)$

Passaggio 4.2.2.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5