Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 1.1.4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

Passaggio 1.1.5.2

$\frac{1}{4}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

Passaggio 1.1.5.3

$\frac{1}{4}$ e $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

Passaggio 2.2

Sposta $- \frac{e^{- x}}{4}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendolo a entrambi i lati.

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

Passaggio 2.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$e^{x} = e^{- x}$

Passaggio 2.4

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = - x$

Passaggio 2.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + x = 0$

Passaggio 2.5.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$2 x = 0$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{4}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, \frac{1}{2})$

Passaggio 5