Calcolo Esempi

$f (x) = e^{9 x - 3}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{9 x - 3}$ come un'equazione.

$y = e^{9 x - 3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{9 y - 3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{9 y - 3} = x$ .

$e^{9 y - 3} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{9 y - 3}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{9 y - 3})$ spostando $9 y - 3$ fuori dal logaritmo.

$(9 y - 3) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(9 y - 3) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $9 y - 3$ per $1$ .

$9 y - 3 = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y = \ln (x) + 3$

Passaggio 3.5

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = \ln (x) + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y = \ln (x) + 3$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{3}{9}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y}{9} = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{3}{9}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{3}{9}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{3 (1)}{9}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$y = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}$ è l'inverso di $f (x) = e^{9 x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{9 x - 3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{\ln (e^{9 x - 3})}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Espandi $\ln (e^{9 x - 3})$ spostando $9 x - 3$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{(9 x - 3) \ln (e)}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $9 x - 3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $(9 x - 3) \ln (e)$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 ((3 x - 1) \ln (e))}{9} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 ((3 x - 1) \ln (e))}{3 (3)} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 ((3 x - 1) \ln (e))}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{(3 x - 1) \ln (e)}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{(3 x - 1) \cdot 1}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.4

Moltiplica $3 x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 x - 1}{3} + \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 x - 1 + 1}{3}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $3 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $3 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{9 x - 3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{9 (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) - 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (x)}{9}$ come $\frac{1}{9} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{9 (\frac{1}{9} \cdot \ln (x) + \frac{1}{3}) - 3}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{9} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{9}$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{9 (\ln (x^{\frac{1}{9}}) + \frac{1}{3}) - 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{9 \ln (x^{\frac{1}{9}}) + 9 (\frac{1}{3}) - 3}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica $9 \ln (x^{\frac{1}{9}})$ spostando $9$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{9}})}^{9}) + 9 (\frac{1}{3}) - 3}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{9}})}^{9}) + 3 (3) (\frac{1}{3}) - 3}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{9}})}^{9}) + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3})) - 3}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{9}})}^{9}) + 3 - 3}$

Passaggio 5.3.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{9}})}^{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{9} \cdot 9}) + 3 - 3}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{9} \cdot 9}) + 3 - 3}$

Passaggio 5.3.3.5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln (x^{1}) + 3 - 3}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Semplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln (x) + 3 - 3}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $\ln (x) + 3 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln (x) + 0}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}$ è l'inverso di $f (x) = e^{9 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{9} + \frac{1}{3}$