Calcolo Esempi

$f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$ come un'equazione.

$y = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 1 + \sqrt{2 + 4 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $1 + \sqrt{2 + 4 y} = x$ .

$1 + \sqrt{2 + 4 y} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2 + 4 y} = x - 1$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 + 4 y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 + 4 y}$ come ${(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${({(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 + 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 + 4 y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$2 + 4 y = {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 + 4 y = (x - 1) (x - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 + 4 y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 + 4 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 + 4 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 + 4 y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 + 4 y = x^{2} - x - x + 1$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$2 + 4 y = x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = x^{2} - 2 x + 1 - 2$

Passaggio 3.5.1.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 y = x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} - 2 x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} - 2 x - 1$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{4} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 (2)} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 2} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{4}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 + 4 x})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 (1) + 4 x})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 (1) + 2 (2 x)})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi ${(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.3

Espandi $(1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}) + \sqrt{2 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + 1 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.2

Moltiplica $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.3

Moltiplica $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.4

Moltiplica $\sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1.4.1

Eleva $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.4.2

Eleva $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {\sqrt{2 (1 + 2 x)}}^{1 + 1}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {\sqrt{2 (1 + 2 x)}}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2 (1 + 2 x)}}^{2}$ come $2 (1 + 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ come ${(2 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {({(2 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {(2 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {(2 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + {(2 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 (1 + 2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.5.5

Semplifica.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 (1 + 2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 \cdot 1 + 2 (2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 + 2 (2 x)}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.1.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 2 + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.4.3

Somma $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ e $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.5

Scomponi $2$ da $2 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 (1) + 4 x}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.5.2

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 (1) + 2 (2 x)}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3.5.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} - \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x - 1}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Sottrai $1$ da $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 + 2 \sqrt{2 (1 + 2 x)} + 4 x}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riordina $1$ e $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)} + 4 x}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.3

Sposta $2 \sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 + 4 x + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.4

Riordina $2$ e $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{4 x + 2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune di $4 x + 2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x) + 2 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1) + 2 \sqrt{2 (2 x + 1)}}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.4

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1) + 2 (\sqrt{2 (2 x + 1)})}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x + 1) + 2 (\sqrt{2 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)})}{4} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)})}{2 (2)} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 (2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)})}{2 \cdot 2} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)}}{2} + \frac{- (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)}}{2} - \frac{1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Passaggio 5.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - (1 + \sqrt{2 (1 + 2 x)})}{2}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - 1 \cdot 1 - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - 1 - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Passaggio 5.2.8

Combina i termini opposti in $2 x + 1 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - 1 - \sqrt{2 (1 + 2 x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 0 + \sqrt{2 (2 x + 1)} - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Passaggio 5.2.8.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + \sqrt{2 (2 x + 1)} - \sqrt{2 (1 + 2 x)}}{2}$

Passaggio 5.2.9

Sottrai $\sqrt{2 (1 + 2 x)}$ da $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Riordina $1$ e $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + \sqrt{2 (2 x + 1)} - \sqrt{2 (2 x + 1)}}{2}$

Passaggio 5.2.9.2

Sottrai $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ da $\sqrt{2 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.10

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.11.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{2 + 4 x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1) + 4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Scomponi $2$ da $4 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4})$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1) + 2 (2 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (2 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}))$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{4}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 (2)}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (- \frac{1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (\frac{- 1}{4}))}$

Passaggio 5.3.3.3.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (\frac{- 1}{2 (2)}))}$

Passaggio 5.3.3.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 2}))}$

Passaggio 5.3.3.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{- 1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{2 - 1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.7

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x + \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.8

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.9

$- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - x \cdot 2 + 1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.12

Riordina i fattori in $x^{2} - x \cdot 2 + 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1}{2})}$

Passaggio 5.3.3.13

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.13.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 1 \cdot (2 x) + 1^{2}}{2})}$

Passaggio 5.3.3.13.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$1 \cdot 2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 5.3.3.13.3

Riscrivi il polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{2})}$

Passaggio 5.3.3.13.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{2 (\frac{{(x - 1)}^{2}}{2})}$

Passaggio 5.3.3.14

$2$ e $\frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.3.3.15

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.15.1

Riduci l'espressione $\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.15.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{\frac{2 {(x - 1)}^{2}}{2}}$

Passaggio 5.3.3.15.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{1}}$

Passaggio 5.3.3.15.2

Dividi ${(x - 1)}^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.16

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = 1 + x - 1$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $1 + x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 1 + \sqrt{2 + 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$