Calcolo Esempi

$f (x) = e^{7 - 3 x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{7 - 3 x}$ come un'equazione.

$y = e^{7 - 3 x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{7 - 3 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{7 - 3 y} = x$ .

$e^{7 - 3 y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{7 - 3 y}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{7 - 3 y})$ spostando $7 - 3 y$ fuori dal logaritmo.

$(7 - 3 y) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(7 - 3 y) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $7 - 3 y$ per $1$ .

$7 - 3 y = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y = \ln (x) - 7$

Passaggio 3.5

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = \ln (x) - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 y = \ln (x) - 7$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (x)}{- 3} + \frac{- 7}{- 3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (x)}{- 3} + \frac{- 7}{- 3}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 3} + \frac{- 7}{- 3}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (x)}{3} + \frac{- 7}{- 3}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}$ è l'inverso di $f (x) = e^{7 - 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{7 - 3 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = - \frac{\ln (e^{7 - 3 x})}{3} + \frac{7}{3}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{- \ln (e^{7 - 3 x}) + 7}{3}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $7 - 3 x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{- ((7 - 3 x) \ln (e)) + 7}{3}$

Passaggio 5.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{- ((7 - 3 x) \cdot 1) + 7}{3}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $7 - 3 x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{- (7 - 3 x) + 7}{3}$

Passaggio 5.2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 3 x) + 7}{3}$

Passaggio 5.2.4.5

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{- 7 - (- 3 x) + 7}{3}$

Passaggio 5.2.4.6

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{- 7 + 3 x + 7}{3}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $- 7 + 3 x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 7$ e $7$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $3 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{7 - 3 x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 - 3 (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3})}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (x)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 - 3 (- (\frac{1}{3} \cdot \ln (x)) + \frac{7}{3})}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (x)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 - 3 (- \ln (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{7}{3})}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 - 3 (- \ln (x^{\frac{1}{3}})) - 3 (\frac{7}{3})}$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $- 3 (- \ln (x^{\frac{1}{3}}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + 3 \ln (x^{\frac{1}{3}}) - 3 (\frac{7}{3})}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Semplifica $3 \ln (x^{\frac{1}{3}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}) - 3 (\frac{7}{3})}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 3 (- 1) (\frac{7}{3})}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 3 \cdot (- 1 (\frac{7}{3}))}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}) - 1 \cdot 7}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}) - 7}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln (x^{\frac{1}{3} \cdot 3}) - 7}$

Passaggio 5.3.3.6.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln (x^{\frac{1}{3} \cdot 3}) - 7}$

Passaggio 5.3.3.6.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln (x^{1}) - 7}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Semplifica.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{7 + \ln (x) - 7}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $7 + \ln (x) - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $7$ da $7$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{0 + \ln (x)}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $0$ e $\ln (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}$ è l'inverso di $f (x) = e^{7 - 3 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{3} + \frac{7}{3}$