Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \ln (x^{2}) + 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \ln (x^{2}) + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.5

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.6

$\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.7

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.8

$x^{2}$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.10

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.10.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.10.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.10.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.10.2.5

Dividi $2 x$ per $1$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + 0$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Somma $2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$ e $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x \ln (x^{2}) + 2 x$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$

Passaggio 2.3

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $2 x$ ciascun termine in $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 2 x}{2 x}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 (x)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Passaggio 2.3.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\ln (x^{2}) = - 1$

Passaggio 2.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\ln (x^{2}) = - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x^{2}$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} = e^{- 1}$ .

$x^{2} = e^{- 1}$

Passaggio 2.6.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\pm \sqrt{e^{- 1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

Passaggio 2.6.3.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{e}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

Passaggio 2.6.3.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

Passaggio 2.6.3.4

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{e}}$ per $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Passaggio 2.6.3.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{e}}$ per $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

Passaggio 2.6.3.5.2

Eleva $\sqrt{e}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

Passaggio 2.6.3.5.3

Eleva $\sqrt{e}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

Passaggio 2.6.3.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.6.3.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.5.6

Riscrivi ${\sqrt{e}}^{2}$ come $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e}$ come $e^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.6.3.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.6.3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.6.3.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.6.3.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

Passaggio 2.6.3.5.6.5

Semplifica.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

Passaggio 2.6.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

Passaggio 2.6.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Passaggio 2.6.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ .

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta l'argomento in $\ln (x^{2})$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} \leq 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Semplifica $\sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | \leq | 0 |$

Passaggio 4.2.2.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$| x | \leq 0$

Passaggio 4.2.3

Scrivi $| x | \leq 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 4.2.3.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x \leq 0$

Passaggio 4.2.3.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 4.2.3.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x \leq 0$

Passaggio 4.2.3.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 4.2.4

Trova l'intersezione di $x \leq 0$ e $x \geq 0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.5

Risolvi $- x \leq 0$ dove $x < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.5.1.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$x \geq 0$

Passaggio 4.2.5.2

Trova l'intersezione di $x \geq 0$ e $x < 0$ .

Nessuna soluzione

Passaggio 4.2.6

Trova l'unione delle soluzioni.

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.60653067$ nell'espressione.

$f' (- 1.60653067) = 2 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1.60653067$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (- 1.60653067)$

Passaggio 6.2.1.3

Semplifica $- 3.21306134 \ln (2.58094079)$ spostando $3.21306134$ all'interno del logaritmo.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (- 1.60653067)$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $2.58094079$ alla potenza di $3.21306134$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) + 2 (- 1.60653067)$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) - 3.21306134$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $3.21306134$ da $- \ln (21.04108386)$ .

$f' (- 1.60653067) = - 6.25953824$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 6.25953824$ .

$- 6.25953824$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.60653067$ la derivata è $- 6.25953824$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.60653067, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.30326533$ nell'espressione.

$f' (- 0.30326533) = 2 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 0.30326533$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (- 0.30326533)$

Passaggio 7.2.1.3

Semplifica $- 0.60653067 \ln (0.09196986)$ spostando $0.60653067$ all'interno del logaritmo.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (- 0.30326533)$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $0.09196986$ alla potenza di $0.60653067$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) + 2 (- 0.30326533)$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) - 0.60653067$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0.60653067$ da $- \ln (0.2351902)$ .

$f' (- 0.30326533) = 0.84083002$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.84083002$ .

$0.84083002$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 0.30326533$ la derivata è $0.84083002$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 0.60653067, 0)$ .

Crescente su $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.30326533$ nell'espressione.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $0.30326533$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (0.30326533)$

Passaggio 8.2.1.3

Semplifica $0.60653067 \ln (0.09196986)$ spostando $0.60653067$ all'interno del logaritmo.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (0.30326533)$

Passaggio 8.2.1.4

Eleva $0.09196986$ alla potenza di $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 2 (0.30326533)$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $2$ per $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 0.60653067$

Passaggio 8.2.2

Somma $\ln (0.2351902)$ e $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = - 0.84083002$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 0.84083002$ .

$- 0.84083002$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 0.30326533$ la derivata è $- 0.84083002$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Decrescente su $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.60653067$ nell'espressione.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

Passaggio 9.2.1.2

Eleva $1.60653067$ alla potenza di $2$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (1.60653067)$

Passaggio 9.2.1.3

Semplifica $3.21306134 \ln (2.58094079)$ spostando $3.21306134$ all'interno del logaritmo.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (1.60653067)$

Passaggio 9.2.1.4

Eleva $2.58094079$ alla potenza di $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 2 (1.60653067)$

Passaggio 9.2.1.5

Moltiplica $2$ per $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 3.21306134$

Passaggio 9.2.2

Somma $\ln (21.04108386)$ e $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = 6.25953824$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $6.25953824$ .

$6.25953824$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1.60653067$ la derivata è $6.25953824$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

Passaggio 11