Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 12] - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 7 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Somma $2 x - 7$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 (x^{2} - 7 x + 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) + (- 2 x^{2} - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Espandi $(x^{2} - 16) (2 x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x - 7) - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.3

Sposta $- 7$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 \cdot x^{2} - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.4

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2.5

Moltiplica $- 16$ per $- 7$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 (x \cdot x)) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.5

Moltiplica $- 7$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 0 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2.2

Somma $- 7 x^{2} - 32 x + 112$ e $0$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Somma $- 7 x^{2}$ e $14 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 32 x + 112 - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.4

Sottrai $24 x$ da $- 32 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Scomponi $7$ da $7 x^{2} - 56 x + 112$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Scomponi $7$ da $7 x^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2}) - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Scomponi $7$ da $- 56 x$ .

$\frac{7 (x^{2}) + 7 (- 8 x) + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Scomponi $7$ da $112$ .

$\frac{7 x^{2} + 7 (- 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.4

Scomponi $7$ da $7 x^{2} + 7 (- 8 x)$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.5

Scomponi $7$ da $7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 1.1.3.4.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{7 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$7 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $7 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $7$ per $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $7$ .

$7$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $7$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 3$ e $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $7$ per $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $7$ .

$7$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $7$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, \infty)$ .

Crescente su $(- 4, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Passaggio 9