Calcolo Esempi

$f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(3 x - 7)}^{2}$ come $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x - 7) (3 x - 7)]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(3 x - 7) (3 x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Passaggio 1.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Passaggio 1.1.3.1.4

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7]$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7]$

Passaggio 1.1.3.1.6

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49]$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $21 x$ da $- 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} - 42 x + 49]$

Passaggio 1.1.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 42 x + 49$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.1.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.1.7

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 x + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.1.8

Poiché $- 42$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 42 x$ rispetto a $x$ è $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 x - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.1.10

Moltiplica $- 42$ per $1$ .

$18 x - 42 + \frac{d}{d x} [49]$

Passaggio 1.1.11

Poiché $49$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $49$ rispetto a $x$ è $0$ .

$18 x - 42 + 0$

Passaggio 1.1.12

Somma $18 x - 42$ e $0$ .

$f' (x) = 18 x - 42$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $18 x - 42$ .

$18 x - 42$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $18 x - 42 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$18 x - 42 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $42$ a entrambi i lati dell'equazione.

$18 x = 42$

Passaggio 2.3

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 x = 42$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $18$ ciascun termine in $18 x = 42$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 x}{18} = \frac{42}{18}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{42}{18}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $42$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $6$ da $42$ .

$x = \frac{6 (7)}{18}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $18$ .

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{7}{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = 18 x - 42$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = {(3 x - 7)}^{2}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{7}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4}{3}$ nell'espressione.

$f' (\frac{4}{3}) = 18 (\frac{4}{3}) - 42$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (6) (\frac{4}{3}) - 42$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{4}{3})) - 42$

Passaggio 5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{4}{3}) = 6 \cdot 4 - 42$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 24 - 42$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $42$ da $24$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 18$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 18$ .

$- 18$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = \frac{4}{3}$ la derivata è $- 18$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{7}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{7}{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{7}{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{10}{3}$ nell'espressione.

$f' (\frac{10}{3}) = 18 (\frac{10}{3}) - 42$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $18$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 3 (6) (\frac{10}{3}) - 42$

Passaggio 6.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{10}{3}) = 3 \cdot (6 (\frac{10}{3})) - 42$

Passaggio 6.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{10}{3}) = 6 \cdot 10 - 42$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $6$ per $10$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 60 - 42$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $42$ da $60$ .

$f' (\frac{10}{3}) = 18$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $18$ .

$18$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{10}{3}$ la derivata è $18$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{7}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{7}{3}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{7}{3}, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, \frac{7}{3})$

Passaggio 8