Calcolo Esempi

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{- x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 1.1.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Passaggio 1.1.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Passaggio 1.1.5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Passaggio 1.1.5.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Passaggio 1.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Passaggio 1.1.6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

Passaggio 1.1.6.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Fattorizza $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 e^{- x}$ da $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2 e^{- x}$ da $- 2 e^{- x} \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2 e^{- x}$ da $- 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2 e^{- x}$ da $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- 1 \cos (x)$ come $- \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $- \sin (x) - \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- \sin (x) - \cos (x)$ uguale a $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.2

Frazioni separate.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.5

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.6

Frazioni separate.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.5.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.5.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2.10

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = 1$

Passaggio 2.5.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.11.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.11.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 2.5.2.12

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 2.5.2.13

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.14

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 2.5.2.15

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.15.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 2.5.2.15.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.5.2.16

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.5.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.5.2.17

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.17.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 2.5.2.17.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.17.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.17.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.17.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.5.2.17.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.17.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 2.5.2.17.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.5.2.17.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.5.2.18

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ vera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\frac{3 π}{4} + π n$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ la derivata è $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Passaggio 6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ la derivata è $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Passaggio 8