Calcolo Esempi

$f (θ) = 9 \sin (10 \cos (θ))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $9 \sin (10 \cos (θ))$ rispetto a $θ$ è $9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $10 \cos (θ)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$9 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $10 \cos (θ)$ .

$9 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $10 \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$9 \cos (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $10$ per $9$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 1.4

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 1$ per $90$ .

$f' (θ) = - 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 90$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $- 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$ .

$- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \cos (10 \cos (θ))$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.5.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $10 \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])))$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Passaggio 2.6

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))))$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin (θ)))$

Passaggio 2.8

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Passaggio 2.12

Semplifica.

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Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ)) - 90 (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $10$ per $- 90$ .

$- 90 \cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) - 900 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ)$

Passaggio 2.12.3

Riordina i termini.

$f'' (θ) = - 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$ .

$- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$