Calcolo Esempi

$s = 1 + \frac{3}{t + 3} - \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{3}{t + 3} - \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{3}{t + 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{3}{t + 3}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{t + 3}$ come ${(t + 3)}^{- 1}$ .

$0 + 3 \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $t + 3$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $t + 3$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 3 (- {(t + 3)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{18}{{(t + 3)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 18 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ come ${({(t + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(t + 3)}^{2}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $t + 3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Passaggio 1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $t + 3$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])))$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3])))$

Passaggio 1.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 3)}^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Passaggio 1.3.8.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) (1 + 0)))$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) \cdot 1))$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3)))$

Passaggio 1.3.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{- 4} (t + 3))$

Passaggio 1.3.12

Eleva $t + 3$ alla potenza di $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 ({(t + 3)}^{1} {(t + 3)}^{- 4}))$

Passaggio 1.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{1 - 4})$

Passaggio 1.3.14

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} - 18 (- 2 {(t + 3)}^{- 3})$

Passaggio 1.3.15

Moltiplica $- 2$ per $- 18$ .

$0 - 3 {(t + 3)}^{- 2} + 36 {(t + 3)}^{- 3}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 36 {(t + 3)}^{- 3}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 3 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.4.3.3

Sottrai $\frac{3}{{(t + 3)}^{2}}$ da $0$ .

$- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + 36 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 1.4.3.4

$36$ e $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$f' (t) = - \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{3}{{(t + 3)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ come ${({(t + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(t + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(t + 3)}^{2}$ .

$- 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 3 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(t + 3)}^{2}$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t + 3$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t + 3$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) \frac{d}{d t} [t + 3])) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + \frac{d}{d t} [3]))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 3 (- {({(t + 3)}^{2})}^{- 2} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 3)}^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{2 \cdot - 2} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) (1 + 0))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.9

Somma $1$ e $0$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3) \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 3 (- {(t + 3)}^{- 4} (2 (t + 3))) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{- 4} (t + 3)) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.12

Eleva $t + 3$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (- 2 ({(t + 3)}^{1} {(t + 3)}^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.14

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 3 (- 2 {(t + 3)}^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{36}{{(t + 3)}^{3}}$ rispetto a $t$ è $36 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}]$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ come ${({(t + 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 \frac{d}{d t} [{({(t + 3)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = {(t + 3)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come ${(t + 3)}^{3}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con ${(t + 3)}^{3}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{3}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $t + 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $t + 3$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [t + 3]))$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 3$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [3])))$

Passaggio 2.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {({(t + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(t + 3)}^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.8.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Passaggio 2.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2} \cdot 1))$

Passaggio 2.3.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- {(t + 3)}^{- 6} (3 {(t + 3)}^{2}))$

Passaggio 2.3.11

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{- 6} {(t + 3)}^{2})$

Passaggio 2.3.12

Moltiplica ${(t + 3)}^{- 6}$ per ${(t + 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.12.1

Sposta ${(t + 3)}^{2}$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 ({(t + 3)}^{2} {(t + 3)}^{- 6}))$

Passaggio 2.3.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{2 - 6})$

Passaggio 2.3.12.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} + 36 (- 3 {(t + 3)}^{- 4})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $- 3$ per $36$ .

$6 {(t + 3)}^{- 3} - 108 {(t + 3)}^{- 4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}} - 108 {(t + 3)}^{- 4}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(t + 3)}^{3}} - 108 \frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.3.1

$6$ e $\frac{1}{{(t + 3)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(t + 3)}^{3}} - 108 \frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3.2

$- 108$ e $\frac{1}{{(t + 3)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(t + 3)}^{3}} + \frac{- 108}{{(t + 3)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = \frac{6}{{(t + 3)}^{3}} - \frac{108}{{(t + 3)}^{4}}$