Calcolo Esempi

$f' (x) = \frac{d}{d x} \cdot 8 \cos (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} \cdot (8 \cos (2 x))]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} \cdot (8 \cos (2 x))]$

Passaggio 1.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

$8$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x} \cdot \cos (2 x)]$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{8}{x}$ e $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8 \cos (2 x)}{x}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 \cos (2 x)}{x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = x$ .

$8 \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$8 \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$8 \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$8 \frac{x (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{x (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 \frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.6.2

$8$ e $\frac{x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{8 (x (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{- 16 (x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{- 16 x \sin (2 x) - 8 \cos (2 x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $8$ da $- 16 x \sin (2 x) - 8 \cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $8$ da $- 16 x \sin (2 x)$ .

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) - 8 \cos (2 x)}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $8$ da $- 8 \cos (2 x)$ .

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $8$ da $8 (- 2 x \sin (2 x)) + 8 (- \cos (2 x))$ .

$\frac{8 (- 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x \sin (2 x)$ .

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x)) - \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.5

Scomponi $- 1$ da $- \cos (2 x)$ .

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x)))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.6

Scomponi $- 1$ da $- (2 x \sin (2 x)) - (\cos (2 x))$ .

$\frac{8 (- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.7

Riscrivi $- (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ come $- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))$ .

$\frac{8 (- 1 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{2}}$

Passaggio 1.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{8 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)}{x^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)] - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $\sin (2 x)$ per $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x) \cdot 1) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.6.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.6.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)) x$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) + x (- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Passaggio 2.8.6.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x))) + x (- 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{4}}$

Passaggio 2.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.9.2

Elimina il fattore comune.

$- 8 \frac{x (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.9.3

Riscrivi l'espressione.

$- 8 \frac{x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.10

$- 8$ e $\frac{x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x))}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x)) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))) + 2 \sin (2 x) - 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))) + x (2 \sin (2 x)) + x (- 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x) + \cos (2 x)))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))) + x (2 \sin (2 x)) + x (- 2 \sin (2 x)) - 2 (2 x \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (x (2 \sin (2 x))) + 8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.5.1

Combina i termini opposti in $8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (x (2 \sin (2 x))) + 8 (x (- 2 \sin (2 x))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.5.1.1

Riordina i fattori nei termini di $8 (x (2 \sin (2 x)))$ e $8 (x (- 2 \sin (2 x)))$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 2 \cdot 8 x \sin (2 x) - 2 \cdot 8 x \sin (2 x) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.1.2

Sottrai $2 \cdot 8 x \sin (2 x)$ da $2 \cdot 8 x \sin (2 x)$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 0 + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.1.3

Somma $8 (x (2 (x (2 \cos (2 x)))))$ e $0$ .

$- \frac{8 (x (2 (x (2 \cos (2 x))))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.5.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.5.2.1.1

Sposta $x$ .

$- \frac{8 (x \cdot x (2 (2 \cos (2 x)))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \frac{8 (x^{2} (2 (2 \cos (2 x)))) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{8 (2 \cdot 2 x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{8 (4 x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2.4

Moltiplica $4$ per $8$ .

$- \frac{32 (x^{2} \cos (2 x)) + 8 (- 2 (2 x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) + 8 (- 4 (x \sin (2 x))) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2.6

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) - 32 (x \sin (2 x)) + 8 (- 2 \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.5.2.7

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$- \frac{32 x^{2} \cos (2 x) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.6

Scomponi $16$ da $32 x^{2} \cos (2 x) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.6.1

Scomponi $16$ da $32 x^{2} \cos (2 x)$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) - 32 x \sin (2 x) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.6.2

Scomponi $16$ da $- 32 x \sin (2 x)$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x)) - 16 \cos (2 x)}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.6.3

Scomponi $16$ da $- 16 \cos (2 x)$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.6.4

Scomponi $16$ da $16 (2 x^{2} \cos (2 x)) + 16 (- 2 x \sin (2 x))$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 2.12.6.5

Scomponi $16$ da $16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x)) + 16 (- \cos (2 x))$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f' (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$ .

$- \frac{16 (2 x^{2} \cos (2 x) - 2 x \sin (2 x) - \cos (2 x))}{x^{3}}$