Calcolo Esempi

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \sec (θ)$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\sec (θ)$ per $\sec^{2} (θ)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\sec (θ)$ per $\sec^{2} (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sec (θ)}^{1 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 1.4

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 1.5

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ)$

Passaggio 1.6

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ)$

Passaggio 1.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sec^{3} (θ) + {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ)$

Passaggio 1.8

Somma $1$ e $1$ .

$\sec^{3} (θ) + \tan^{2} (θ) \sec (θ)$

Passaggio 1.9

Riordina i termini.

$f' (θ) = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec^{3} (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ) \sec (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = \tan^{2} (θ)$ e $g (θ) = \sec (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\tan (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.4

La derivata di $\tan (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $\tan^{2} (θ)$ per $\tan (θ)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.5.1

Sposta $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $\tan (θ)$ per $\tan^{2} (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Eleva $\tan (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{1} (θ) \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\tan (θ)}^{1 + 2} \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + \sec (θ) (2 \tan (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.6

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) {\sec (θ)}^{1 + 2} + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.2.8

Somma $1$ e $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [\sec^{3} (θ)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{3}$ e $g (θ) = \sec (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Passaggio 2.3.3

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 (\sec^{1} (θ) \sec^{2} (θ)) \tan (θ)$

Passaggio 2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 {\sec (θ)}^{1 + 2} \tan (θ)$

Passaggio 2.3.5

Somma $1$ e $2$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \tan (θ) \sec^{3} (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

Passaggio 2.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori di $2 \tan (θ) \sec^{3} (θ)$ .

$\tan^{3} (θ) \sec (θ) + 2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) + 3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$

Passaggio 2.4.2

Somma $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ e $3 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$ .

$f'' (θ) = \tan^{3} (θ) \sec (θ) + 5 \sec^{3} (θ) \tan (θ)$