Calcolo Esempi

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $4$ da $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{- 2}$ da $3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{- 2}$ da $3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{- 2}$ da $- 7 x^{- 2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $x^{- 2}$ da $x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

Passaggio 1.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x^{7} - 7$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{7} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{7}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.5

Moltiplica $7$ per $3$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.6.7

Somma $21 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sposta $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.7.3

Somma $6$ e $4$ .

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.8

Sposta $21$ alla sinistra di $x^{10}$ .

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 1.10

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 1.10.2

Scomponi $x^{3}$ da $21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $21 x^{10}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 1.10.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Passaggio 1.10.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Passaggio 1.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 1.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 1.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Passaggio 1.12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Passaggio 1.12.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 7$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Passaggio 1.12.2.2

Sottrai $12 x^{7}$ da $21 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{7} + 28$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{7}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $7$ per $9$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $63 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.3.3

Somma $6$ e $5$ .

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.4

Sposta $63$ alla sinistra di $x^{11}$ .

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Passaggio 2.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $x^{4}$ da $63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $63 x^{11}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $x^{4}$ da $- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Passaggio 2.6.2.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1

Moltiplica $9$ per $- 5$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $28$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $45 x^{7}$ da $63 x^{7}$ .

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Passaggio 2.8.3

Scomponi $2$ da $18 x^{7} - 140$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scomponi $2$ da $18 x^{7}$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

Passaggio 2.8.3.2

Scomponi $2$ da $- 140$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

Passaggio 2.8.3.3

Scomponi $2$ da $2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$